TEORIA GRACELI COM DENSIDADE DE CARGA ELÉTRICA  E TENSOR G+, E SDCTIE GRACELI [COM MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES [FÍSICAS, QUÍMICA, FENOMÊNICAS E TRANSICIONAIS, ESTADOS FÍSICOS E QUÍMICO, E CATEGORIAS].

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G +   , +  DENSIDADE DE CARGA, +  SDCTIE GRACELI

O princípio da incerteza consiste num enunciado da mecânica quântica formulado em 1927 por Werner Heisenberg. Tal princípio estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. Em seu artigo de 1927, Heisenberg propõe que em nível quântico quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza de seu momento linear e vice-versa.^[1]

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas.^[2] Isso porque na mecânica clássica quando conhecemos as condições iniciais conseguimos com precisão determinar o movimento e a posição dos corpos de forma simultânea. Ainda que o princípio da incerteza tenha sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX.^[3] Essa transformação conduziu à discrepâncias na interpretação do conteúdo físico, surgindo versões conceitualmente distintas para as relações de incerteza, podendo ser interpretadas como relações de incerteza ou indeterminação.^[4]

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Expressão

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck. ^[5]Em termos matemáticos, exprime-se assim:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

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onde ${\displaystyle \hbar }$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[6]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$

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e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada.

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para se descobrir a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição. Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola, pois a própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja localizada dentro daquela área.

Natureza da medida em mecânica quântica

Como se pode depreender da argumentação acima exposta, a natureza de uma medida sofre sérias reformulações no contexto da mecânica quântica. De fato, na mecânica quântica uma propriedade leva o nome de observável, pois não existem propriedades inobserváveis nesse contexto. Para a determinação de um observável, é necessário que se tenha uma preparação conveniente do aparato de medida, a fim de que se possa obter uma coleção de valores do ensemble de entes do sistema. Se não puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment) uma preparação que possa medir tal grandeza (observável), então é impossível determiná-la naquelas condições do experimento.

Uma comparação tornará mais clara essa noção. No experimento de difração da dupla fenda, um feixe de elétrons atravessando uma fenda colimadora atinge mais adiante duas outras fendas paralelas traçadas numa parede opaca.

Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente, atinge um anteparo. Se se puser sobre este um filme fotográfico, obtém-se pela revelação do filme um padrão de interferência de zonas claras e escuras. Esse resultado indica uma natureza ondulatória dos elétrons, resultado esse que motivou o desenvolvimento da mecânica quântica.

Entretanto, pode-se objetar e afirmar-se que a natureza dos elétrons seja corpuscular, ou seja, composta de partículas. Pode-se então perguntar por qual fenda o elétron atravessou para alcançar o anteparo. Para determinar isso, pode-se pôr, junto de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princípio, pode indicar a passagem dos elétrons por tal ou qual fenda. Entretanto, ao fazê-lo, o resultado do experimento é radicalmente mudado. A figura de interferência, antes presente, agora dá lugar a uma distribuição gaussiana bimodal de somente duas zonas claras em meio a uma zona escura, e cujos máximos se situam em frente às fendas.

Isso acontece porque as naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não podem ser simultaneamente determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a determinação da outra. Essa constatação da dupla natureza da matéria (e da luz) leva o nome de princípio da complementaridade.

Essa analogia serve para mostrar como o mundo microfísico tem aspectos que diferem significativamente do que indica o senso comum.

Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princípio da incerteza, é necessário que se distingam três tipos reconhecidos de propriedades dinâmicas em mecânica quântica:

1. Propriedades compatíveis: são aquelas para as quais a medida simultânea e arbitrariamente precisa de seus valores não sofre nenhum tipo de restrição básica. Exemplo: a medição simultânea das coordenadas x, y e z de uma partícula. A medição simultânea dos momentos p_x,p_y e p_z de uma partícula.
2. Propriedades mutuamente excludentes: são aquelas para as quais a medida simultânea é simplesmente impossível. Exemplo: se um elétron está numa posição x_i, não pode estar simultaneamente na posição diferente x_j.
3. Propriedades incompatíveis: são aquelas correspondentes a grandezas canonicamente conjugadas, ou seja, aquelas cujas medidas não podem ser simultaneamente medidas com precisão arbitrária. Em outras palavras, são grandezas cujas medidas simultâneas não podem ser levadas a cabo em um conjunto de subsistemas identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo não pode ser realizado. Exemplos: as coordenadas x,y e z e seus correspondentes momentos p_x,p_y e p_z, respectivamente. As coordenadas angulares θ_i e os correspondentes momentos angulares J_i.

Observáveis e operadores

No formalismo matemático da mecânica quântica, os observáveis são representados por operadores matemáticos sobre um espaço de Hilbert.

Esses operadores podem ser construídos a partir de seus equivalentes clássicos.

Na formulação de Heisenberg, as relações da incerteza podem ser dados na forma de um operador comutador, que opera sobre dois outros operadores quaisquer:

${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$

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onde A e B são operadores quaisquer.

No caso das relações de incerteza:

${\displaystyle [X_{k},B_{l}]=i\hbar \delta _{kl}\mathbb {I} }$

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Dirac notou a semelhança formal entre o comutador e os parênteses de Poisson. Sabedor da equivalência usada por Schrödinger quando este postulou a forma da equação de onda, Dirac postulou as seguintes equivalências, que valem como receita para se acharem os operadores quânticos correspondentes a grandezas clássicas:

${\displaystyle coordenada\ x_{k}\to operador\ X_{k}}$${\displaystyle momento\ p_{l}\to operador\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$${\displaystyle \left\{x_{k},p_{l}\right\}\to {\frac {1}{i\ \hbar }}\cdot \left[X_{k},P_{l}\right]}$

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A descrição ondulatória dos objetos microscópicos tem consequências teóricas importantes, como o princípio da incerteza de Heisenberg. O fato de os objetos microscópicos, em muitas situações, terem uma localização no espaço mesmo que aproximada, implica que não podem ser descritos por uma onda com um só comprimento de onda (onda plana), pois esta ocuparia todo o espaço. É necessária uma superposição de comprimentos de ondas diferentes para se obter um "pacote" de ondas mais bem localizado e que represente o objeto microscópico.

O papel do princípio da incerteza nas formulações modernas da mecânica quântica

Hoje em dia, o princípio da incerteza é importante principalmente por dois motivos: um histórico e outro didático. Ambos são análogos: o princípio da incerteza mostra de maneira clara que concepções clássicas a respeito da medida devem ser abandonadas.

No entanto, o princípio da incerteza *não* é um bom princípio (ou postulado) da mecânica quântica, já que é inexato e pouco geral. A mecânica quântica não-relativística é totalmente descrita com alguns postulados, dos quais as relações de incerteza de Heisenberg surgem de forma pouco natural. Mas o espírito do princípio da incerteza é mantido: não se pode ter um sistema que, ao ser medido, tenha a probabilidade 1 de se encontrar tanto uma ou outra grandeza, se essas grandezas corresponderem a operadores que não comutam. Iremos explicar isto melhor adiante:

Todas as grandezas que podem ser medidas correspondem aos chamados "autovalores" de certos objetos matemáticos chamados de operadores (na verdade, a natureza requer que esses operadores sejam de uma classe especial, a dos "observáveis"). Chamemos um operador qualquer de A, e chamemos seus autovalores de a_n (a_1 é um autovalor, a_2 é outro e assim por diante). Existem estados quânticos, chamados "autoestados" (que representaremos por ${\displaystyle |\phi _{n}>}$) do operador A, nos quais uma medida tem 100% de chance de encontrar o valor a_n. Esses autoestados e esses autovalores são definidos pela seguinte equação:

${\displaystyle A|\phi _{n}>=a_{n}|\phi _{n}>}$

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Um operador é dito um observável se esses autoestados ${\displaystyle \phi _{n}>}$ formarem uma "base". Diz-se que um grupo qualquer de estados quânticos formam uma base se qualquer outro estado quântico puder ser escrito como uma superposição deles. Ou seja, para qualquer estado quântico ${\displaystyle |\Psi >}$,

${\displaystyle |\Psi >=\sum c_{n}|\phi _{n}>}$

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Onde os coeficientes ${\displaystyle c_{n}}$, em geral complexos, indicam o quanto os autoestados correspondentes ${\displaystyle |\phi _{n}>}$ influenciam no estado resultante, ${\displaystyle |\Psi >}$. Um dos postulados da mecânica quântica diz que a probabilidade de uma medida da grandeza A revelar o valor a_n é:

${\displaystyle P(a_{n})=|c_{n}|^{2}}$

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Quando o sistema está no autoestado ${\displaystyle |\phi _{n}>}$, o postulado acima mostra que a probabilidade de se encontrar o valor a_n correspondente é 100%. Assim, pode-se dizer que o sistema *possui a grandeza A bem definida*.

Agora consideremos dois operadores A e B, como o operador da posição e o operador do momento. Em geral, os autoestados de um operador não são os mesmos autoestados do outro operador. Consequentemente, se o sistema está em um estado quântico onde a grandeza A é bem definida, a grandeza B não será bem definida. Ou seja, haverá uma "incerteza" na grandeza B.

Mas, e se o sistema estiver num estado onde a grandeza A é bem definida, e efetuarmos uma medida na grandeza B? Pode-se pensar que, então, saberemos exatamente o valor de ambas as grandezas. Mas isso está errado, devido a outro dos postulados da mecânica quântica: se uma medida de uma grandeza qualquer B revela o valor b_n, então o sistema *é perturbado pela medida*, e passa para o autoestado ${\displaystyle |\phi _{n}>}$ correspondente à grandeza A_n.

Então, suponha que dois operadores A e B não possuem os mesmos autoestados. Se efetuarmos em um sistema qualquer a medida da grandeza A, e encontrarmos um certo valor, o sistema se torna um autoestado de A, com um valor bem definido de A e uma incerteza no valor de B. Se, após isso, efetuarmos uma medida no valor de B, então lançamos o sistema num autoestado de B, com um valor bem definido de B e uma incerteza no valor de A. Com isso, dizemos que é impossível saber simultaneamente o valor da grandeza A e da grandeza B.

A incerteza entre a posição e o momento proposta por Heisenberg é, então, uma consequência dos postulados da mecânica quântica, e não um postulado por si só.

A teoria quântica de campos ou teoria quântica de campo (abreviada para TQC ou QFT, do inglês, Quantum field theory) é um conjunto de ideias e técnicas matemáticas usadas para descrever quanticamente sistemas físicos que dispõem de um número infinito de graus de liberdade. TQC fornece a estrutura teórica usado em diversas áreas da física, tais como física de partículas elementares, cosmologia e física da matéria condensada .^[1][2]

O arquétipo de uma teoria quântica de campos é a eletrodinâmica quântica (tradicionalmente abreviada como QED, do inglês Quantum Eletrodynamics), e que descreve essencialmente a interação de partículas eletricamente carregadas através da emissão e absorção de fótons.

Dentro desse paradigma, além da interação eletromagnética, tanto a interação fraca quanto a interação forte são descritas por teorias quânticas de campos, que reunidas formam o que conhecemos por Modelo Padrão que considera tanto as partículas que compõem a matéria (quarks e léptons) quanto as partículas mediadoras de forças (bósons de gauge) como excitações de campos fundamentais.^[3]

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História

Advento da teoria clássica dos campos

Pode-se considerar que a noção de campo surgiu inicialmente como uma construção matemática na descrição da gravitação newtoniana. No século XIX, tal formalismo logo foi estendido tanto para fenômenos elétricos quanto magnéticos por físicos como Ampère, Ohm e Faraday.

Devido aos trabalhos de Maxwell, o conceito de campo passa a ocupar o papel de maior importância na descrição fenomenológica da realidade. Maxwell mostrou, através de um conjunto de equações que recebem seu nome, que os fenômenos magnéticos e elétricos estão intrinsecamente associados e que devem ser descritos por uma única entidade: o campo eletromagnético.^[4]

Conceitualmente, Maxwell mostrou a relação entre campos elétricos e magnéticos, bem como o reconhecimento de que a luz (óptica) é uma manifestação particular deste campo eletromagnético. Dentro dessa perspectiva histórica, a unificação dos fenômenos eletromagnéticos realizado por Maxwell foi a segunda grande unificação, a primeira sendo a unificação da dinâmica celeste e terrestre realizada por Isaac Newton ainda no século XVII.^[5]

Mecânica, Eletromagnetismo e Relatividade

O eletromagnetismo foi a razão de ser do surgimento da relatividade. Com a inadequação das transformações de Galileu quando aplicadas à equação de onda tridimensional, surgiu um dilema: ou se preservava a mecânica clássica e abandonava-se o nascente eletromagnetismo, ou se preservava este e abandonava-se quase três séculos de previsões solidamente confirmadas pela experimentação.

O caminho foi achado, surpreendentemente, numa espécie de conciliação entre as duas alternativas.

Inicialmente, Woldemar Voigt derivou em 1887 um conjunto de relações, baseado apenas na equação de onda ordinária, devida a Jean D'Alembert. Essas relações eram transformações espaciais e temporais que deixavam invariante a forma desta equação.

Estas relações são as que se conhecem como transformações de Lorentz-Fitzgerald, cientistas que redescobriram estas transformações mais tarde. Em particular, Lorentz o fez num contexto diferente, na tentativa de se reconciliar as teorias do éter com os resultados de experiências físicas, tais como a de Michelson-Morley. Einstein então entra em cena, com seu trabalho seminal de 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", onde introduz a relatividade, interpretando corretamente as transformações de Lorentz-Fitzgerald como alterações do espaço e do tempo em função da velocidade relativa entre os referenciais.

Termodinâmica e mecânica quântica

A mecânica quântica surgiu da incapacidade conjunta da termodinâmica e do eletromagnetismo clássicos de prever a correta distribuição de energias em função da frequência no problema da radiação de corpo negro.

A tentativa de derivação feita por Lord Rayleigh e por James Jeans postulava que cada onda eletromagnética estava em equilíbrio com as paredes do forno. Isso se traduz num teorema que mantém sua validade mesmo na mecânica quântica:

Numa cavidade fechada em equilíbrio térmico com o campo eletromagnético confinado, o campo é equivalente a um conjunto enumeravelmente infinito de osciladores harmônicos, e a sua energia é igual à soma das energias desses osciladores. Cada frequência corresponde aos osciladores tomados dois a dois.

Max Planck obteve a forma correta da distribuição porque postulou a quantização da energia dos osciladores harmônicos que comporiam as paredes da cavidade que confina a radiação. Essa hipótese teve por efeito introduzir um limite máximo de freqüência acima do qual há um corte (cutoff) nas contribuições dos entes (ondas eletromagnéticas) que estão em equilíbrio.

Einstein, para explicar o efeito fotoelétrico, ampliou o conceito da quantização para a energia radiante, postulando a existência do fóton (o que "implicitamente" quer dizer que as equações de Maxwell não tem validade ilimitada, porque a existência do fóton implica não-linearidades).

A antiga teoria quântica cedeu lugar à mecânica quântica moderna quando Schrödinger desenvolveu a famosa equação que leva o seu nome. Entretanto, a primeira versão que ele desenvolveu foi a equação que hoje é conhecida como equação de Klein-Gordon, que é uma equação relativista, mas que não descrevia bem o átomo de hidrogênio, por razões que só mais tarde puderam ser entendidas. Assim, ele abandonou a primeira tentativa, chegando à sua equação (equação de Schrödinger):

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} ,t\right)\right]\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}}$

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A equação de Schrödinger acima colocada é a equação "dependente do tempo", pois o tempo aparece explicitamente. Neste caso, as soluções ${\displaystyle \Psi }$ são funções das coordenadas espaciais e do tempo.

Quando o potencial ${\displaystyle \mathbf {V} }$ não depende do tempo, ou seja, quando o campo de força ao qual a partícula está submetida é conservativo, é possível separar as variáveis ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {t} }$.

A equação que a parte espacial da função de onda ${\displaystyle \Psi }$ obedece é:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)}$

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conhecida como equação de Schrödinger "independente do tempo". Esta é uma equação de autovalores, ou seja, através dela se obtêm simultaneamente autofunções (no caso as funções de onda ${\displaystyle \psi }$) e autovalores (no caso, o conjunto das energias estacionárias ${\displaystyle E}$).

Formulação matemática

Mecânica clássica e mecânica quântica

A dinâmica de uma partícula pontual de massa ${\displaystyle m}$ em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana^[6][7] 

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m({\dot {q}}^{i})^{2}-V(q)}$,

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em que ${\displaystyle (q^{i},{\dot {q}}^{i})}$ (que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e ${\displaystyle V(q)}$ é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

${\displaystyle S=\int dtL(q,{\dot {q}})}$

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encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

${\displaystyle m{\frac {d^{2}q^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial V(q)}{\partial q^{i}}}}$,

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que é a equação de Newton, desde que ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V(q)}$. 

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Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento  

${\displaystyle p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}}$,

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de maneira que a função hamiltoniana é dada por

${\displaystyle H(q,p)=p^{i}{\dot {q}}^{i}-L(q^{i},{\dot {q}}^{i})}$,

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que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

${\displaystyle H(q,p)={\frac {(p^{i})^{2}}{2m}}+V(q)}$.

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Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de ${\displaystyle H(q^{i},p^{i})}$ tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton 

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}},\quad {\dot {p}}^{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$,

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e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função ${\displaystyle F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))}$, em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {F}}&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\dot {q^{i}}}+{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\dot {p^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\{H,F\},\end{aligned}}}$

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onde o parêntese de Poisson é definido como

${\displaystyle \{A,B\}={\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}}$.

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Existem diversas maneiras de realizar a quantização de um sistema clássico, tais como quantização por integrais funcionais e quantização canônica. Esse último método em particular, consiste na substituição do parêntese de Poisson por comutadores^[8]

${\displaystyle \{A,B\}\to {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]}$,

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onde ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

${\displaystyle [{\hat {p}}^{i},{\hat {q}}^{j}]=-i\hbar \delta ^{ij}}$.

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Um aspecto importante a ser observado é que os operadores ${\displaystyle {\hat {p}}^{i}}$ e ${\displaystyle {\hat {E}}}$ podem ser representados como os operadores diferencias

${\displaystyle {\hat {p}}^{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q^{i}}},\quad ,{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

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de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função ${\displaystyle \psi (q,t)}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$,

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que é a equação de Schrödinger.

Teoria Clássica de Campos

A formulação lagrangiana e a hamiltoniana da mecânica clássica são refinamentos da mecânica newtoniana e permite o tratamento de sistemas com um número finito de graus de liberdade. Considerando um sistema mecânico unidimensional com ${\displaystyle N}$ graus de liberdade, que consiste de ${\displaystyle N}$ partículas pontuais de massa ${\displaystyle m}$, separadas por uma distância ${\displaystyle \epsilon }$ e conectadas entre si por uma mola de constante elástica ${\displaystyle \kappa }$. A lagrangiana para esse sistema é:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {\kappa }{2}}(x_{i}-x_{i+1})^{2}\right]}$.

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Esse sistema pode ser estendido facilmente para o limite em que ${\displaystyle N\to \infty }$ e ${\displaystyle L=\epsilon N\to \infty }$. No entanto, se o comprimento total do sistema estiver fixo, tem-se o limite contínuo ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, de modo que a lagrangiana terá a forma

${\displaystyle L=\int dx{\frac {1}{2}}\left[\mu {\dot {\phi (t,x)}}^{2}-\nu \left({\frac {d\phi (t,x)}{dx}}\right)^{2}\right]}$,

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onde ${\displaystyle \phi (t,x)}$ representa o deslocamento da partícula relativa a posição ${\displaystyle x}$ no instante de tempo ${\displaystyle t}$. Também, define-se as quantidades ${\displaystyle \mu =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {m}{\epsilon }}}$ ${\displaystyle \nu =\lim _{\epsilon \to 0}\kappa \epsilon }$.

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Generalizando essa discussão prévia para um sistema relativístico, tem-se uma lagrangiana que será uma função do campo ${\displaystyle \phi (x)}$, em que ${\displaystyle x=x^{\mu }}$ e das derivadas ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi (x)}$, dessa maneira, o funcional ação pode ser escrito como

${\displaystyle S=\int dtL(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$.

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Finalmente, a lagrangiana pode ser escrita como

${\displaystyle L(\phi ,\partial _{\mu }\phi )=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$,

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onde ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$, é conhecida como densidade lagrangiana.^[9] A equação de Euler-Lagrange é:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}$.

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Primeiras unificações. Equações relativísticas

Equação de Klein-Gordon

Como foi dito acima, quando Schrödinger primeiro procurou uma equação que regesse os sistemas quânticos, pautou sua busca admitindo uma aproximação relativista, encontrando a depois redescoberta equação de Klein-Gordon:

${\displaystyle \left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$

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onde

${\displaystyle \square \equiv \eta _{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial ^{\nu }}$

A equação de Klein-Gordon, às vezes chamada de equação de Klein-Fock-Gordon (ou ainda Klein-Gordon-Fock) pode ser deduzida de algumas maneiras diferentes.

Usando-se a definição relativística de energia

${\displaystyle E^{2}=\left.p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right.}$

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chega-se à equação:

${\displaystyle {\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

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Essa expressão, por conter operadores diferenciais sob o radical, além de apresentar dificuldades computacionais, também apresenta dificuldades conceituais, já que se torna uma teoria não-local (pelo fato de a raiz poder ser expressa como uma série infinita). Por ser uma equação de segunda ordem não permite que fique bem definida a questão da normalização da função de onda.

Fock deduziu-a através da generalização da equação de Schrödinger para campos magnéticos (onde as forças dependem da velocidade). Fock e Klein usaram ambos o método de Kaluza-Klein para deduzi-la. O motivo, só mais tarde entendido, da inadequação desta equação ao átomo de hidrogênio é que ela se aplica bem somente a partículas sem carga e de spin nulo.

Equação de Dirac

Em 1928 Paul Dirac obteve uma equação relativística baseada em dois princípios básicos

1. A equação deveria ser linear na derivada temporal;
2. A equação deveria ser relativisticamente covariante.

A equação obtida por ele tinha a seguinte forma:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)}$

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onde ${\displaystyle \alpha _{0}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ e ${\displaystyle \alpha _{3}}$ não são números reais ou complexos, mas sim matrizes quadradas com N² componentes. Semelhantemente, as funções ${\displaystyle \psi }$ são na verdade matrizes coluna da forma

${\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}}$

e as matrizes ${\displaystyle \alpha _{0}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ e ${\displaystyle \alpha _{3}}$ devem ser hermitianas.

A equação de Dirac, diferentemente da equação de Klein-Gordon, é uma equação que dá bons resultados para partículas de spin ½. Aliás, um dos sucessos é que esta equação incorpora o spin de forma natural, o que não ocorre com a equação de Schrondinger, onde o spin é admitido posteriormente como uma hipótese ad hoc. Não obstante, isso levou certos autores a afirmarem que o spin é um grau de liberdade relativístico, o que é contestado. Outro sucesso da equação de Dirac foi prever a existência do pósitron, já que a equação previa valores negativos de energia, o que foi inicialmente interpretado, à luz da [[teoria dos buracos], como indicação de elétrons com energias negativas. Essa teoria afirmava que os pósitrons seriam vacâncias produzidas pela promoção desses elétrons para estados com energias positivas. O vácuo é então visto como um mar de elétrons onde eles estariam compactamente colocados. Hoje, entretanto, essa teoria cedeu lugar à questão de criação e aniquilação de partículas num contexto mais geral da quantização canônica dos campos.

Desenvolvimento da teoria quântica dos campos

A origem da teoria quântica dos campos é marcada pelos estudos de Max Born e Pascual Jordan em 1925 sobre o problema da computação da potência irradiada de um átomo em uma transição energética.

Em 1926, Born, Jordan e Werner Heisenberg formularam a teoria quântica do campo eletromagnético desprezando tanto a polarização como a presença de fontes, levando ao que se chama hoje de uma teoria do campo livre. Para tanto, usaram o procedimento da quantização canônica.

Três razões principais motivaram o desenvolvimento da teoria quântica dos campos:

• A necessidade da uma teoria que lidasse com a variação do número de partículas;
• A necessidade de conciliação entre as duas teorias: mecânica quântica e a relatividade;
• A necessidade de lidar com estatísticas de sistemas multipartículas.

Quantização canônica dos campos

Um campo, no esquema conceitual da teoria dos campos, é uma entidade com infinitos graus de liberdade.

O estado de mais baixa energia, chamado de vácuo, corresponde à ausência de partículas.

Estas, entretanto, podem ser criadas ou destruídas através de dois operadores:

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{+}}$: operador criação
• ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{-}}$: operador aniquilação

que agem sobre a função de onda do campo, respectivamente simbolizando a criação e a aniquilação de partículas dotadas de momento ${\displaystyle \mathbf {k} }$, possibilidade exigida pela relatividade.

Os operadores, agindo sobre os estados de um tipo específico de espaço de Hilbert, chamado espaço de Fock, criam e destroem as partículas. Entretanto, uma restrição é:

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{-}\left|0\right\rangle =0}$

o que quer dizer que não pode haver aniquilação sobre o estado básico, já que nesse caso não há partículas a serem aniquiladas.

As formulações matemáticas da mecânica quântica são os formalismos matemáticos que permitem uma descrição rigorosa da mecânica quântica. Estas, por sua vez, se distinguem do formalismo matemático da mecânica clássica pelo uso de estruturas matemáticas abstratas, tais como espaços de Hilbert de dimensão infinita e operadores sobre estes espaços. Muitas destas estruturas são retiradas da análise funcional, uma área de pesquisa da matemática que foi influenciada, em parte, pelas necessidades da mecânica quântica. Em resumo, os valores de observáveis ​​físicos, tais como energia e momento linear já não eram considerados como valores de funções em espaço de fase, mas como autovalores, mais precisamente como valores espectrais de operadores lineares no espaço de Hilbert.^[1]

Estas formulações da mecânica quântica continuam a ser utilizadas hoje. No centro da descrição estão as ideias de estado quântico e quantum observáveis que são radicalmente diferentes daqueles usados ​​em anos anteriores nos modelos da realidade física. Enquanto a matemática permite o cálculo de muitas quantidades que podem ser medidas experimentalmente, há um limite teórico definido para valores que podem ser medidos em simultâneo. Essa limitação foi elucidada por Heisenberg através de um experimento mental, e é representada matematicamente no novo formalismo pela não comutatividade dos observáveis quânticos.

Antes do surgimento da mecânica quântica como uma teoria separada, a matemática utilizada na física consistiu principalmente de geometria diferencial e equações diferenciais parciais. Teoria das probabilidades foi utilizado em mecânica estatística. A intuição geométrica claramente desempenhou um papel importante nos dois primeiros casos e, consequentemente, em teorias da relatividade que foram formuladas inteiramente em termos de conceitos geométricos. A fenomenologia da física quântica surgiu aproximadamente entre 1895 e 1915, e de 10 a 15 anos antes do surgimento da teoria quântica (cerca de 1925) os físicos continuaram a pensar na teoria quântica dentro dos limites do que é agora chamado física clássica, e em particular dentro das mesmas estruturas matemáticas. O exemplo mais sofisticado disso é a regra de quantização de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara, que foi formulada inteiramente no espaço de fase clássico.

Postulados da mecânica quântica

Na Mecânica Clássica a descrição de um sistema físico é resumida da seguinte forma:

• O estado físico do sistema em um dado tempo t₀ é descrito por especificando-se as ${\displaystyle N}$ coordenadas generalizadas ${\displaystyle {q}_{i}({t}_{o})}$ e seus momentos conjugados ${\displaystyle {p}_{i}({t}_{o})}$.
• O valor dessas grandezas físicas em um dado tempo é completamente determinado se o estado desse sistema neste tempo é conhecido. Ou seja, se o estado do sistema é conhecido podemos determinar com exatidão o estado posterior do sistema após a medida feita em ${\displaystyle t_{0}}$.
• A evolução no estado do sistema é dado pelas leis de Newton ou por formulações equivalentes (mecânica lagrangiana ou hamiltoniana). O estado do sistema fica completamente determinado se conhecemos suas condições iniciais.

A mecânica quântica pode ser formulada a partir de diversos conjuntos de postulados e de diversos formalismos matemáticos. Seguem os postulados que fazem uso da análise funcional e que são adotados por considerável parte de textos básicos de mecânica quântica.^[2]

• Todo sistema físico está associado a um espaço de Hilbert H complexo e separável, sendo o produto interno de H definido por ${\displaystyle \scriptstyle \langle \psi \mid \phi \scriptstyle \rangle }$. A todo estado físico associa-se um conjunto de vetores unitários de H que diferem apenas por uma fase complexa.

• Toda grandeza física, também chamada de observável, está associada a um operador auto-adjunto densamente definido em H.

• Os resultados possíveis em uma medida de um observável correspondem ao espectro do observável correspondente.

• Seja A um observável físico com espectro discreto ${\displaystyle \{a_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$. Quando é realizada uma medida em A, a probabilidade ${\displaystyle P({a}_{n})}$ de encontrar o autovalor ${\displaystyle a_{n}}$ é dada por

${\displaystyle P({a}_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\left\langle u_{k}^{i}|\psi \right\rangle |^{2}}$,

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onde ${\displaystyle g_{n}}$ é o grau de degenerescência de ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle \mid u_{k}^{i}\rangle }$ correspondem aos autovetores de A com autovalor ${\displaystyle a_{n}}$.

• Se em uma medida de uma grandeza física ${\displaystyle A}$ no estado ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ encontramos um autovalor ${\displaystyle a_{n}}$ de ${\displaystyle A}$, imediatamente após a medida o estado do sistema será a projeção normalizada de ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ no auto-espaço associado a ${\displaystyle a_{n}}$. Dessa forma, toda medida imediatamente após a primeira medida terá o mesmo resultado.

• A evolução no tempo ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ do vetor de estado de um sistema físico é governada pela equação de Schrödinger, desde que o sistema físico mantenha coerência

${\displaystyle H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

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onde H é o Hamiltoniano do sistema e ${\displaystyle \hbar }$ é a constante reduzida de Planck.

• O Postulado da simetrização nos diz que quando um sistema possui várias partículas idênticas somente alguns kets do espaço dos estados podem descrever um sistema físico. Estes kets são, dependendo da natureza das partículas, completamente simétricos ou completamente assimétricos com respeito à permutação das partículas. Partículas que possuem vetores de estado simétricos são chamadas de bósons enquanto que as que possuem vetores de estado assimétrico são chamadas de férmions.